Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем

^ Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем
При моделировании задач может быть положена догадка линейного представления реального мира. Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задачка многомерна, то Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.

Линейные математические модели также употребляются в нелинейных системах при условии, если эта нелинейная система условно линеаризирована.

В общем виде система линейных уравнений имеет вид:



где

aij- коэффициенты при Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем неведомых системы,

bi- свободные члены,

xj- неведомые системы,

- номер строчки,

- номер столбца,

n - порядок системы.

В матричной форме система линейных уравнений имеет вид:



где







Численные способы решения систем линейных уравнений (СЛУ) можно поделить на Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем две группы:

- четкие либо прямые способы,

- приближенные способы.

Приближенные способы реализуют на ЭВМ нахождение корней с данной точностью и являются итерационными способами.

Четкие способы позволяют получить решение системы за конечное число итераций Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем. К четким способам относятся:



^ 6.1. Решение систем линейных уравнений способом Гаусса
Способ Гаусса является четким способом. Он позволяет получить решение системы за конечное число арифметических действий Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем. В базе способа лежит мысль поочередного исключения неведомых. Способ состоит из 2-ух шагов. На первом шаге (прямой ход) система с помощью поочередного исключения неведомых приводится к треугольному виду. На втором шаге (оборотный ход) из системы Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем треугольного вида поочередно, в оборотном порядке, начиная c n-го уравнения, находятся неведомые системы.

В качестве примера возьмем систему 4 порядка.



(6.1)

Прямой ход. На первом шаге прямого хода (к=1) находим Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем x1 из первого уравнения системы (6.1).

- ведущий элемент первой строчки.

Если , то



(6.2)

Обозначим:



(6.3)

Подставляя (6.3) в (6.2), получим



(6.4)

где



Подставляем (6.4) во 2, 3 и 4 уравнение системы (6.1), получим:



Обозначив коэффициенты при неведомых приобретенной системы через , а свободные члены через перепишем полученную систему Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем:



(6.5)

где



Таким макаром, в итоге выполнения первого шага прямого хода начальная система (6.1) n-го порядка преобразована к совокупы уравнения (9.4) и системы линейных уравнений (6.5), порядок которой равен n-1.

На втором шаге прямого хода Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем (к=2) из первого уравнения системы (6.5) находим x2.

-ведущий элемент первой строчки системы (6.5).

Если , то из первого уравнения системы (6.5) имеем:



(6.6)

где



Подставив выражение (6.6) во 2-ое и третье уравнения системы (6.5), получим новейшую систему линейных уравнений Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем, порядок которой равен n-2.



(6.7)

где



Таким макаром, в итоге выполнения второго шага прямого хода начальная система (6.1) преобразована к совокупы уравнений (6.4), (6.6) и системы линейных уравнений (6.7),порядок которой равен n-2.

На Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем 3-ем шаге прямого хода (к=3) из системы (6.7) находим x3.

- ведущий элемент системы (6.7).

Если , то из первого уравнения системы (6.7) имеем:



(6.8)

где



Подставив выражение (9.8) для x3 во 2-ое уравнение системы (6.7) получим:



(6.9)

где



На последнем Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем шаге прямого хода, если , то из уравнения (6.9) имеем:



(6.10)

где



(6.11)

В итоге выполнения всех шагов прямого хода начальная система (6.1) приводится к системе треугольного вида, приобретенной объединением уравнений (6.4), (6.6), (6.8), (6.10):



(6.12)

При построении метода прямого хода вычисление организуем Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем в цикле по шагам, т.е. .

Последний n-й шаг прямого хода выведем из цикла т.к. тут реализуется только одно вычисление



(6.13)

В процессе выполнения всех шагов прямого хода все преобразования Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем коэффициентов и свободных членов проводим по приобретенным ранее рекуррентным формулам:



(6.14)

где

– номер шага прямого хода,

- номер уравнения систем (6.5), (6.7)



В процессе оборотного хода из системы (6.12) неведомые находятся в оборотном порядке. Значение корня х4 находят из Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем последнего уравнения системы (6.12). Дальше х4 употребляется для отыскания корня х3 из 3-го уравнения, дальше х3 и х4 употребляются отыскания х2 из 2-го уравнения системы (6.12), и, в конце концов, х2, х3 и х4 употребляются Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем для отыскания х1 из 1-го уравнения системы (6.12).

Все вычисления оборотного хода проводим в цикле по i, где

по рекуррентным формулам:



xi= bi.

Рассмотренный выше простой вариант способа Гаусса, именуемый схемой единственного деления Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем, обладает последующим недочетом: если ведущий элемент akk какой-нибудь строчки окажется равным нулю, то этот способ формально непригоден, хотя система может иметь единственное решение. Из этих суждений в схеме метода добавлен поиск ненулевого Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем ведущего элемента.

На рисунке 6.1 представлена укрупнённая схема метода (блок-схема) способа Гаусса.



Рис. 6.1.  Укрупнённая схема метода (блок-схема) способа Гаусса


Вопросы для самопроверки

  1. Что такое прямой ход способа Гаусса?

  2. Что такое оборотный ход способа Тема 6 Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем Гаусса?

  3. Почему способ Гаусса является четким?

  4. В каком случае можно для описания энергетической системы использовать систему линейных уравнений?

  5. Что дает построение схемы метода математического способа?


tema-6-partii-i-obshestvenno-politicheskie-dvizheniya-v-politicheskoj-sisteme-obshestva.html
tema-6-platezhnie-sistemi-rossii-uchebno-metodicheskij-kompleks-uchebnoj-disciplini-bankovskoe-delo-specialnost.html
tema-6-pokazateli-fizicheskogo-razvitiya-detej-i-podrostkov-kak-odin-iz-kriteriev-ocenki-ih-sostoyaniya-zdorovya.html