Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность

Пусть X и Y некие числовые огромного количества

Если каждому по некому правилу f ставится в соответствие единственный элемент то молвят, что задана функция. Обозначается где х – аргумент либо независящая переменная функции; у – значение функции либо зависимая переменная.

Огромное количество Х значений независящей переменной именуется областью определения функции и обозначается либо

Огромное количество Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность всех значений зависимой переменной Y именуется обилием значений функции и обозначается либо

Личное значение функции при данном личном значении аргумента обозначается

Отметим особенности отыскания области определения неких функций:

1) область определения дробно-рациональной функции

где P(x), Q(x) – некие многочлены, определяется условием:

2) если аналитическое выражение функции содержит квадратный корень Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность, т. е. задана функция то

В случае задания функции формулой ее область определения – это ОДЗ выражения

Графиком функции именуется огромное количество всех точек плоскости с координатами где

Методы задания числовой функции:

1) табличный – указываются значения переменной х и надлежащие им значения переменной y, составляется таблица (можно использовать для записи наблюдений);

x
f(x)

2) аналитический – указывается Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность область определения функции и задается формула, по которой каждому значению ставится в соответствие

3) графический – задается график функции.

Характеристики функции:

1. Четность и нечетность функции.

Функция именуется четной, если:

1) – симметричное огромное количество относительно

2) для хоть какого производится равенство

Функция именуется нечетной, если:

1) – симметричное огромное количество относительно

2) для хоть какого производится равенство

Если функция является Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность четной либо нечетной, то молвят, что она обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси график нечетной – относительно начала координат.

Характеристики четных (нечетных) функций:

1) если f и g – четные функции на огромном количестве Х, то функции

– четные функции на Х;

2) если f и g – нечетные функции на огромном количестве Х, то функции

– нечетные Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность функции на Х;

– четные функции на Х.

2. Периодичность функции.

Функция с областью определения именуется повторяющейся, если существует такое число что для хоть какого значения производятся условия:

1)

2)

Число Т именуется периодом функции.

Числа где также будут периодами функции.

Меньший из положительных периодов, если он существует, именуется главным периодом.

3. Монотонность функции Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность.

Пусть х1, х2 – произвольные значения из области функции такие, что

Если при данном условии производится:

то функция именуется растущей;

убывающей;

неубывающей;

невозрастающей.

Растущие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции именуются однообразными функциями (растущие и убывающие – строго однообразными).

Функция именуется кусочно-монотонной на огромном количестве Х, если данное огромное количество можно поделить на конечное число промежутков, на каждом Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность из которых функция однообразна.

4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет собственный символ (т. е. либо ), именуются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых функция именуются нулями функции. Нули функции – это точки скрещения графика функции с осью Ох.

Пример.Отыскать область определения функции

Решение.

(1)

Найдем соответственное огромное количество Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность точек.

Неравенство равносильно неравенству

Решая его, получаем:

х
+
+


Условие значит, что т. е.

Приходим к заключению, что Получаем

Таким макаром, система (4.1) равносильна системе

Как следует,

Пример.Отыскать огромное количество значений функции

Решение. Найдем область определения функции

Последнее условие производится только для Вычисляем значение функции в этой точке: Как следует,

Пример.Изучить функцию на четность:

Решение Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность. Замечаем, что функция имеет Как следует, функция определена на симметричном огромном количестве.

Разглядим ее значение для –х:

Так как производятся оба условия четности функции, заключаем, что функция – четная.

Преобразования графиков

Приведем графики неких функций:

1) – ровная линия; 2) – квадратичная парабола;

y = x
y
х
y
х


3) – кубическая парабола; 4) – гипербола;

y
x Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность
y = x3
y
x
y
x


5) – график квадратного корня;

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция

1. Для построения графика функции начальный график функции симметрично отображаем относительно оси Ох (рис. 1).

2. Для функции данный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис. 2).

y
x
y = f(x)
y = –f(x)
y Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность
x
y = f(x)
y = f(–x)


Рис. 1 Рис. 2

3. Для функции этот график выходит параллельным переносом графика функции на масштабных единиц повдоль оси Оу ввысь, если и вниз, если (рис. 3).

4. Для функции этот график выходит параллельным переносом графика функции на масштабных единиц повдоль оси Ох на право, если и Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность на лево, если (рис. 4).

y
x
y = f(x) + b, b > 0
y = f(x)
y = f(x) + b, b < 0
y = f(x)
y
x
y = f(x + a), a > 0
y = f(x + a), a < 0



Рис. 3 Рис. 4

5. Для функции где график функции «растянут» в k раз повдоль оси Оу (от оси Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность Ох), если «сжат» в раз повдоль оси Оу (к оси Ох), если (рис. 5).

y = f(x)
y = bf(x), 0 < b < 1
y = bf(x), b > 1
y
х


Рис. 5

6. Для функции где график «растянут» повдоль оси Ох (от оси Оу) в раз при «сжат» повдоль Ох (коси Оу) в m Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность раз, при (рис. 6).

y = f(ax), 0
y = f(ax), a > 1
y = f(x)
y
x


Рис. 6

7. Для функции сохраняется та часть графика функции которая находится над осью Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под осью Ох, отображается симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис. 7).

y = |f(x Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность)|
y = f(x)
y
x


Рис. 7

8. Для функции часть графика функции соответственная отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательному – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис. 8).

y = f(x)
y
x
y = f(|x|)


Рис. 8

Пример 1. Выстроить график функции

Решение. Преобразуем заданную функцию:

Получили

Для построения графика Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность приобретенной функции используем последующие преобразования:

1) строим график функции

2) график функции получаем из графика функции методом движения его на единицу на лево по оси Ох;

3) график функции получаем из предшествующего симметричным отображением относительно оси Ох;

4) график данной функции получаем из графика функции параллельным переносом на две единицы Тема 7. Функция, её свойства и графики. Последовательность вниз по оси Оу (рис. 9).

–3
х
–1
–2
у
1)
2)
3)
4)


Рис. 9

Пример 2. Выстроить график функции

Решение. Сначала преобразуем формулу, задающую функцию:

Шаги построения (рис. 10):

1)

2) – отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость;

3) – смещение повдоль оси Ох на право на две единицы;

4) – повышение коэффициента роста вдвое.

–1
–2
2)
1)
x
у
3)
4)


Рис. 10


tema-6-razvitie-zapadno-evropejskoj-ekonomicheskoj-misli-v-18-nach-20-veka.html
tema-6-restrukturizaciya-predpriyatiya-uchebno-metodicheskij-kompleks-uchebnoj-disciplini-uchet-i-analiz-bankrotstv-specialnosti.html
tema-6-rinochnie-otnosheniya-konkurenciya-tipi-rinochnih-struktur-1-predmet-obshej-ekonomicheskoj-teorii.html